Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе



Ордена Ленина

Институт прикладной арифметики

имени М.В.Келдыша

Русской академии


Г.П. Прокопов

Выбор характеристик при вариационном подходе к расчету постоянных сеток


Москва, 2006 год


УДК 519.6

Выбор характеристик при вариационном подходе к расчету постоянных сеток

Прокопов Г.П.

Препринт Института прикладной арифметики Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе им. М.В.Келдыша РАН


Предлагается автоматический вариант предназначения управляющих характеристик для вариационного функционала, применяемого при конструировании постоянных двумерных разностных сеток. Способ обобщается на расчет пространственных сеток.

Дискуссируются и другие Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе вопросы, связанные с реализацией вариационного подхода для сотворения надежных способов расчета постоянных двумерных и трехмерных сеток при численном решении нестационарных задач.

Работа выполнена при поддержке Русского Фонда Базовых Исследовательских работ (грант № 05-01-00097).


Selection of Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе parameters in process of calculation of regular grids based on variational method.

Prokopov G.P.

Preprint of Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS.


One suggests an automatic variant to pick up the Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе control parameters for variational functional used for construction of regular 2D grids. The method can be generalized for the calculation of 3D grids.

We discusse some other issues connected with realization of variational Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе approach for creation of robust methods to calculate regular 2D and 3D grids in process of numerical solution of non-stationary problems.

This work is carried out based on support Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе of RFFI (grant 05-01-00097).
Содержание
стр.


Введение ………………………………………………………….. 3

§ 1. Одномерные управляющие функции и их предназначение……. 4

§ 2. Неравномерные прямоугольные «сетки» ………………….. 8

§ 3. Неравномерные полярные «сетки»…………………………. 11

§ 4. Дискретная реализация управления функционалом………. 14

§ 5. Некие замечания о расчете двумерных сеток………… 16

§ 6. Выбор функционала для трехмерных сеток Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе и предназначение

одномерных управляющих функций………………………. 21

§ 7. Модельные примеры для пространственного варианта.

Функционал без якобиана для трехмерных сеток…………. 25

§ 8. О дискретизации пространственного функционала……….. 26

Заключение ………………………………………………………. 30

Перечень литературы ……………………………………………….. 31

Введение
Дискретные аналоги вариационных функционалов обширно употребляются, как Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе один из вероятных путей, при конструировании алгоритмов расчета двумерных сеток, нужных для численного решения различных задач математической физики. Значимой частью таковой работы является автоматизация предназначения коэффициентов функционалов. При решении нестационарных задач для их предназначения Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе могут употребляться метрические характеристики сетки, приобретенной на прошлом шаге расчета, с некой корректировкой для обеспечения удовлетворительных параметров сетки.

Тут в особенном положении находится получение исходной сетки, для которого «предыдущего» шага нет. Неким Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе нюансам вероятных путей автоматизации предназначения характеристик функционала посвящена реальная работа.

Результаты, достигнутые при использовании вариационного подхода для двумерных сеток, сделали уверенность в способности их обобщения на случай пространственных (трехмерных) сеток. Неувязка их построения Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе была животрепещущей всегда, так как позволяет решать задачки для реальных объектов без той идеализации приближенного подхода, который безизбежно порождается рассмотрением двумерных задач.

Значительно выросшая производительность вычислительной техники и растущие Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе запросы практики потребность в надежных методах построения трехмерных сеток сделали в особенности острой. Потому в истинной работе будут рассматриваться и вопросы обобщения упомянутых выше алгоритмов на пространственный случай.


§ 1. Одномерные управляющие функции и их Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе предназначение.


1.1. Как обычно, при построении постоянной сетки в отдельной односвязной области W на плоскости переменных (х,у) будем считать ее четырехугольником с криволинейными границами. Тогда задачку можно трактовать как дискретную реализацию невырожденного отображения квадрата Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе Q: (0£x, h£1) на область W .

В работах создателя [1]-[3] для этой цели привлекаются вариационные функционалы вида:

(1.1) ,

(1.2) ,

Входящие в их величины представляют метрические характеристики отображения:

(1.3)

Ввиду тривиального тождества

(1.4)

невырожденность отображения взаимосвязана с положительной Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе определенностью симметричной матрицы g и коэффициентов G:


(1.5) ,

Функционалы (1.1) либо (1.2) минимизируются на классе функций , , являющихся гладким продолжением вовнутрь квадрата Q данных на его границе функций . Эти последние производят взаимно-однозначное отображение Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе границы квадрата ^ Q на границу области W, в какой должна быть построена сетка.

Функционалы (1.1) и (1.2) различаются только отсутствием либо наличием в знаменателе якобиана отображения g0. Ради сокращенности и наглядности условимся именовать (1.1) функционалом без якобиана (ФБЯ Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе), а (1.2) – функционалом с якобианом (ФЯ).

1.2. Если назначить в качестве коэффициентов

(1.6) , , ,

оба функционала (1.1) и (1.2) добиваются абсолютного минимума. Для второ-го из их , а для первого величина равна площади области W..

Как следует, при предназначении Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (1.6) оба функционала воспроизводят хоть какое данное невырожденное отображение квадрата Q на область W. Их дискретные аналоги можно считать универсальными генераторами сеток.

При расчете нестационарных задач с подвижными границами можно использовать сетку, полученную Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе на прошлом шаге по времени, и условия (1.6) для расчета сетки на новеньком шаге. По суждениям, обсуждавшимся, к примеру, в [3] на стр. 18-19, возникающие функционалы, нареченные опорными, нуждаются в некой корректировке средством других Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе функционалов для обеспечения удовлетворительных и предпочтительных параметров сетки.

Если этого не сделать, то, образно говоря, опорный функционал штампует еще одну сетку по виду и подобию предшествующей, «не задумываясь», хороша она либо плоха Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе.

В особенном положении находится получение исходной сетки на начальный момент расчета, для которого «предыдущего» шага нет. Аналогичной является ситуация для задач, в каких сетка остается недвижной в процессе нестационарного расчета Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе либо вообщем идет речь о стационарной задачке.

1.3. Предназначение коэффициентов матрицы G становится первоочередной заботой для таких ситуаций. В [3] были высказаны суждения о необходимости использования (в качестве 1-го из вариантов решения этой трудности) 2-ух одномерных функций Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе аргументов x,и h. Рассмотрением таковой способности мы и займемся.

Назначим коэффициент . Это можно трактовать как рвение к получению «квазиортогональных» сеток.

Тогда функционалы (1.1) и (1.2) принимают вид:

(1.7) ,

(1.8) , в случае ФБЯ (1.1)

(1.9) , в случае Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе ФЯ (1.2)

Введем в рассмотрение функционал вида:

(1.10)


Тут А(x), В(h) – некие управляющие функции. Как видно из (1.10), умножение их на однообразный случайный множитель не изменяет функционала. Чтоб обеспечить их детерминированность Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, применен прием из работы [4] .

Будем считать обе функции А(x), В(h) нормированными:

(1.11) , ,

«компенсировав» эти ограничения дополнительным свободным параметром , который должен быть подобран в процессе минимизации.

1.4. Пусть задано некое изначальное состояние управляющих функций А Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе(x), В(h) и отображения , , представляющего непрерывный аналог разыскиваемой сетки. Ради сокращенности будем и его именовать «сеткой» (отмечая это кавычками).

Вычислим ее метрические характеристики (1.3) и назначим функции , в согласовании с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе формулами (1.8) либо (1.9).

Как выяснится позднее, с практической точки зрения представляется естественным в качестве начального состояния функций А(x), В(h) использовать производные усредненных законов расстановки узлов сетки на обратных границах области. Условия Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе нормировки (1.11) при всем этом будут выполнены.

Дальше «заморозим» В(h) и вычислим функции

(1.12) ,

Тогда для (1.10) получим выражение:



Разумеется, что его минимизация достигается при задании заместо А(x) управляющей функции

(1.13)

Аналогично, «замораживая» А(x), вычислим Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе функции:

(1.14) ,

Тогда для (1.10) выходит выражение:



Его минимизация достигается предназначением заместо В(h) управляющей функции

(1.15)

Для обеспечения нормировки (1.11) в качестве новых функций полагаем:

(1.16) ,

,

1.5. Отметим, что из формул (1.13) и (1.15) величину  можно убрать ввиду следующей нормировки (1.16).

Но параметр Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе  будет играть очень существенную роль при пересчете сетки. Напомним, что, как понятно из курсов вариационного исчисления, уравнения Эйлера-Лагранжа, которым должна удовлетворять «сетка» , , обеспечивающая минимум вариационного функционала (1.10), имеют вид:

(1.17)




В случае Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе ФБЯ (1.1) это линейные уравнения:

(1.18)




В случае ФЯ (1.2) уравнения нелинейные и имеют значительно более массивный вид, который не один раз дискуссировался (см., напр., [3], стр.8). Мы их выписывать не будем.

Параметр  определяется требованием минимизации функционала Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (1.10). Следовало бы пользоваться приобретенными новыми функциями , что привело бы к формуле:

(1.19)

Но, в целях экономии вычислительных издержек, уместно и, по-видимому, полностью допустимо, беря во внимание интегральный нрав параметра , кооперировать Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе его расчет с расчетом . При этом пользоваться не просто вычислениями , а плодами (1.12) либо (1.14) в таком виде:

(1.20)

Новое обозначение введено в (1.20) поэтому, что, вообщем говоря, в формуле (1.19).

1.6. После реализации формул (1.12)-(1.16), а потом (1.19) либо (1.20), появляется Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе кандидатура: или сходу принять , (либо ) в качестве управляющих, или продолжить процесс их вычисления, приняв их в качестве нового приближения и повторяя снова описанную функцию при зафиксированной «сетке» , , т.е. для прежних Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе функций , . К дискуссии вопроса о необходимости такового гипотетичного итерационного процесса вернемся позднее.

Пока же отметим, что в случае, если в формулах (1.16) отменить нормировку средством величин А0, В0 и упразднить параметр , то итог Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе будет аналогичным. Неувязка заключается в том, не приведет ли это к неконтролируемому росту погрешностей вычислений при использовании таковой облегченной процедуры на большом числе временных шагов нестационарного процесса. Потому мы предпочитаем описанный, несколько Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе более обременительный в плане вычислительных издержек, но более надежный вариант.

Ввиду того, что предназначение управляющих характеристик приобретает итерационный нрав, стоит направить внимание на возможность использования меры предосторожности в виде коэффициента «запаса», чтоб демпфировать вероятные колебательные Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе процессы. Этот прием так традиционен, что мы ограничимся этим замечанием.


§ 2. Неравномерные прямоугольные «сетки».


2.1. В качестве методического примера, иллюстрирующего предлагаемый метод выбора одномерных управляющих функций, разглядим неравномерные прямоугольные «сетки». Они задаются Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе формулами:

(2.1)



Естественно полагать, что , .

Тут и дальше предполагается, что

(2.2) , ,

т.е. дифференцирование делается по собственному аргументу.

Без ограничения общности можно полагать, что

(2.3) , .

Для упрощения последующих формул введем величины:

(2.4) , ,

Величины с1, с2 представляют длины сторон области Ω , занимаемой Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе отображением квадрата Q, которая является параллелограммом.

Если , то область Ω – прямоугольник.

Вычислим производные отображения (2.1):

, , ,

В силу критерий нормировки (2.3) функции , представляют законы расстановки узлов «сетки» на границах области.

Метрические характеристики «сетки Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе» определяются формулами:

(2.5)





В согласовании с (1.8) и (1.9) будем иметь:

(2.6) , в случае ФБЯ (1.1)

, в случае ФЯ (1.2)

2.2. Разглядим по два варианта начального задания управляющих функций:

1-ый - , ;

2-ой - .

Результаты, получаемые по формулам (1.12)-(1.16), дополним значениями параметра , получаемыми по Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе формулам (1.20). Значение для всех этих вариантов. Результаты представлены в таблице 1.

Возникшие по ходу дела неизменные определяются так:

(2.7)




Таблица 1.


Вариант

ФБЯ (1.1)

ФЯ (1.2)

I*

II*

I

II





1



1





1



1





































































































2.3. Прокомментируем приобретенные результаты.

10. Во всех рассмотренных вариантах этого простого примера Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе получаются либо подтверждаются правильные значения управляющих функций

(2.8) , .

В случае прямоугольной области площади прямоугольника.

Просто проверить, что в случае (2.8) получаются значения функционала:

для ФЯ (1.2), для ФБЯ (1.1).

Как следует, (2.8) обеспечивают абсолютную минимизацию обоих функционалов Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (1.8)-(1.10). Ожидаемая случайная неравномерная прямоугольная «сетка» (2.1) является хорошей исходя из убеждений этих функционалов при правильном задании (2.8). Естественно, что она, как просто созидать, удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (1.18) для ФБЯ (1.1). Можно проверить, что так будет и для Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе упомянутых выше более массивных уравнений (1.17) для ФЯ (1.2).

20. При предназначении управляющих функций

(2.9) ,

уравнения (1.18) не выполнены, кроме простого варианта равномерной сетки . Последний попадает в сферу деяния (2.8). Как следует, при предназначении (2.9) неравномерная «сетка» (2.1) функционалами Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (1.8)-(1.10) воспроизводиться не будет, т.е. будет нарушена при решении уравнений (1.18).

Для рассматриваемого примера оказалось довольно одной итерации, чтоб получить «правильные» управляющие функции , .

2.4. Заслуживает специального внимания пример простейшей неортогональной сетки, задаваемой формулами (2.1) в случае, если . Просто Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе проверить, что при управляющих функциях (2.8) она удовлетворяет уравнениям (1.18), т.е. является стационарной точкой функционалов (1.8)-(1.10). При всем этом получаются значения функционала:

в случае ФЯ (1.2),

, т.е. больше площади области, в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе случае ФБЯ (1.1).

Появляется увлекательная кандидатура.

Или значение при минимизации ФБЯ (1.1) с G12=0 уменьшено быть не может, тогда и обсуждаемая параллелограммная «сетка» (2.1) является хорошей для него и единственным решением задачки.

Или при зафиксированных граничных узлах существует Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе хорошая от (2.1) «сетка» («квазиортогональная»), для которой значение функционала при тех же (2.8) окажется меньше . Тогда мы оказываемся в ситуации неединственности решения, которая уже не один раз дискуссировалась (см., напр., [5], с.25).

Разумеется Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, что подобная ситуация имеет место и для ФЯ (1.2). Заметим, что «сетки», на которых гипотетически достигается реальный минимум функционала (1.10), вообщем говоря, могут быть разными для (1.8) и (1.9).


§ 3. Неравномерные полярные «сетки»


3.1. В качестве второго, более содержательного Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе методического примера разглядим неравномерную полярную «сетку», описываемую формулами:

(3.1) , .

По неким суждениям по сопоставлению со стр.18 работы [3] изменены обозначения с тем, чтоб привести их в соответствие с принятыми (см., напр.,[6], с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе.217) при рассмотрении пространственного варианта (см. ниже §7).

Будем полагать, что , .

Для производных (3.1) имеем:

(3.2) ,

,

Метрические характеристики описываются формулами:

(3.3) , , ,

В согласовании с (1.8)-(1.9) будем иметь:

(3.4) , в случае ФБЯ (1.1)

, в случае ФЯ (1.2)

Так как при предназначении (1.6) имеем

,

естественно было бы задавать Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе управляющие функции формулами:

(3.5) ,

Числовые характеристики А0, В0 созданы для обеспечения критерий нормировки (1.11). Потому

(3.6) , .

Несложно проверить, что при задании (3.5) в качестве управляющих функций формулы (1.12)-(1.16) приведут к их проигрыванию, т.е. , . В данном случае Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе сетка (3.1) обеспечивает абсолютный минимум обоих из функционалов (1.8)-(1.10) и, как следует, является хорошей для их.

Формулы (1.19) и (1.20) дают схожие результаты .

3.2. Более увлекательным представляется анализ варианта с заданием в качестве управляющих функций

(3.7) ,

на базе законов Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе расстановки узлов на границах.

Разглядим этот вариант поначалу для ФБЯ (1.1). Тогда формулы (1.12)-(1.16) приводят к последующему.









Разумеется, что после нормировки (1.16) получим

(3.8) , ,

что совпадает с (3.5).

Определенные значения a20, b10 скажутся при вычислении . Итог мы не приводим Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, чтоб не загромождать изложения.

Проведем аналогичный расчет для ФЯ (1.2). По формулам (1.12)-(1.16) получаем:









со своими числовыми параметрами.

После нормировки (1.16) получаем тот же итог (3.8) для управляющих , , что и в случае ФБЯ (1.1). А вот Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе параметр , вообщем говоря, будет другим.

3.3. Приобретенные результаты, в главном, подобны описанным в §2, и мы не будем повторяться. Из новых фактов заслуживают внимания последующие.

10. Неравномерная полярная «сетка» (3.1) является хорошей для обоих функционалов (1.8)-(1.10) при Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе предназначении управляющих функций формулами (3.5). При всем этом достигается абсолютная их минимизация.

20. При отличном от (3.5) задании управляющих функций формулами (3.7), привлекающими законы расстановки на границах, удается за одну итерацию (если использовать полярную сетку) получить правильные Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе нормированные управляющие (3.5) для обоих функционалов.

30. Значения параметра при всем этом расчете получаются разными для функционала с якобианом и без якобиана. Так как параметр  значительно работает в уравнениях Эйлера-Лагранжа (1.17)-(1.18), естественно, что расчет Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе самой сетки для этих функционалов с «неправильным»  пойдет различными способами.

40. Разумеется, если в описанной ситуации сделать при зафиксированной сетке (3.1) еще одну итерацию, то для обоих функционалов будут получены схожие значения параметра Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе . Данный факт стоит подразумевать, если направить внимание на очень широкий спектр конфигурации параметра  в зависимости не только лишь от геометрических черт области, да и от определенных законов расстановки R(x), j Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе(h). А, как следует, суровое воздействие параметра  на решение уравнений Эйлера-Лагранжа для расчета сетки при избранных управляющих функциях.

50. Из формул (1.7)-(1.10) естественно представить, что подобные результаты могут быть получены для случайной Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе «сетки», метрические характеристики которой удовлетворяют условиям:

(3.9) , .

§ 4. Дискретная реализация управления функционалом.


4.1. Последующим шагом должно быть рассмотрение дискретной реализации метода расчета управляющих характеристик, изложенного в §1. Как обычно, это естественно сделать для постоянной сетки, упорядоченной по Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе двум индексам:

(4.1)

При описании расчетных формул для наглядности обширно употребляются так именуемые полуцелые индексы , . Это увеличивает громоздкость формул. Чтоб этого избежать, сохраняя наглядность, воспользуемся практическим приемом, описанным, к примеру, в [1] на стр.17. Заместо индекса Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе употребляется , заместо - индекс (аналогично для m ).

А именно, для реализации управляющих функций , в дискретной модели вводятся числовые последовательности

(4.2) ,

Вариационный функционал моделируется интегральной суммой

(4.3)

«Вклад» отдельной ячейки сетки для вариационного функционала (1.10) имеет вид:

(4.4)

4.2. Для Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе вычисления входящих в него величин в литературе описаны различные варианты формул и их практической реализации на ЭВМ. А именно, в целях реализации так именуемого барьерного способа четырехугольная ячейка разрезается на две пары Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе треугольников, получаемых после проведения ее диагонали. Расчетные формулы одни и те же для всех 4 треугольников (но работают со собственной информацией). При реализации функционалов (1.1) и (1.2) ситуация упрощается благодаря тому, что они инвариантны относительно преобразования Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе координат и можно не «следить» за тем, с какой из переменных, x либо h, происходит работа. Создатель считает необходимым направить внимание, что при работе с функционалом (4.3)-(4.4) это не так Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе и за этим необходимо старательно «следить».

Один из вероятных вариантов формул для описан в 2-ух уже упоминавшихся работах [2]-[3], и, во избежание мучительных повторов, мы не будем на этом останавливаться.

Дискретизация формул (1.12)-(1.16) носит довольно Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе формальный нрав, и мы ее приводим быстрее для полноты сводки расчетных формул без всяких комментариев.

(4.5) , ;

, ;

,

,

,

, ,

Для вычисления параметра  избрана дискретизация второго варианта (1.20).

4.3. При написании формул (4.5) неразговорчиво подразумевается, что шаги по параметрическим Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе переменным . Если хлопотать о связи разностного и непрерывного вариантов расчетных формул (к примеру, для осознания и сравнения в целях контроля результатов расчетов), то следовало бы назначать , . Это изменение привело бы к возникновению в формулах Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (4.5) неких коэффициентов (собственных для каждого из типов величин), но не оказывает влияние на значения результирующих величин, которые будут употребляться в предстоящем расчете. Потому и избран упомянутый простой вариант формул.

Создатель Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе считает необходимым отметить, что в методическом плане реальная работа имеет много общего с давнешней работой [4], выполненной под управлением С.К.Годунова. А именно, в ней представлено несколько особых примеров иллюстративного нрава (см. [4], с.1045-1048), которые Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе являются такими и для истинной работы.

Можно было бы на примере полярных сеток провести исследования, подобные описанным в §3, к примеру, исходя из убеждений способности их четкого проигрывания в разностной форме. При Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе всем этом находится, к примеру, зависимость параметра  к тому же от определенного числа узлов разностной сетки. Но это очень громоздко и не достаточно полезно с практической точки зрения. Потому мы не сочли Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе целесообразным этого делать.


§ 5. Некие замечания о расчете двумерных сеток.


Вопрос об управляющих параметрах при расчете постоянных двумерных сеток увлекателен в нескольких качествах.

5.1. Обширное распространение получили так именуемые гармонические сетки, которые получаются, если в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе функционалах (1.1) либо (1.2) задать коэффициенты простым методом:

, .

Часто и расстановка узлов сетки на границах при всем этом выбирается (либо подразумевается) равномерной. И даже таковой очень облегченный вариант функционалов оказывался применимым для Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе решения увлекательных задач. Тем паче этого можно ждать от функционала (1.10), который располагает еще более широкими способностями.

5.2. Управляющие характеристики, появляющиеся в итоге процедуры (4.5), становятся естественной кандидатурой тем способностям, которые достигаются внедрением неравномерных расстановок граничных Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе узлов сетки. Такие способности в особенности нужны, к примеру, для конструирования сеток, нацеленных на расчет пограничных слоев. Законы расстановки граничных узлов в определенной степени позволяют решать такую задачку, но их способности Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе ограничены из-за того, что сеточные уравнения «забывают» эти законы расстановки по мере удаления от границ.

Управляющие характеристики должны содействовать достижению наилучших результатов, хотя бы поэтому, что расстановка граничных узлов часто определяется Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе локальными и время от времени принужденными интересами (к примеру, для передачи каких-то маленьких особенностей граничного контура). Описанные управляющие характеристики, во-1-х, носят интегральный нрав и, как следует, более взвешенно реагируют на такие Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе особенности, а, во-2-х, по начальному плану подбираются, по способности, лучшим образом (исходя из убеждений некого функционала).

Обратим снова повышенное внимание на параметр , играющий очень существенную роль при решении уравнений Эйлера-Лагранжа Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (1.17),(1.18), и на то, что он может изменяться в очень широких границах.

5.3. Естественно, что следует использовать управляющие характеристики заместо законов рассредотачивания узлов при конструировании корректирующего функционала, описанного в [3] на стр.22-23, полагая



заместо формулы



К огорчению Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, по небрежности создателя эта последняя формула была приведена в [3] на стр.22 с ошибкой: в формуле (4.7) знаки квадратного корня следует убрать, так же как и в последующих формулах (4.8)-(4.9). Напротив, в формулах (5.11) на стр.27 в левых Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе частях не хватает показателя 2. Следовало бы и специально направить внимание на неинвариантный нрав функционала с плотностью энергии , что просит пристально «следить» за переменными x,h, как отмечалось выше в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе §4. Создатель пользуется случаем указать на эти ошибки и приносит извинения вероятным юзерам.

5.4. Вопрос о предназначении характеристик заинтересовывал создателя и исходя из убеждений способности автоматизации их расчета.

Как ранее говорилось, функционалы (1.1) и (1.2) носят универсальный нрав, позволяя Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе получить всякую невырожденную сетку при соответственном задании коэффициентов. Этот путь употребляется многими создателями, но основная трудность состоит как раз в практической реализации таких целенаправленных усилий. В работе [7] на стр.902 есть Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе прямое признание: «Способ устранения недочета, связанный с заданием некой управляющей функции во всех ячейках сетки, оказался неэффективным, потому что для каждой новейшей задачки подбор таковой управляющей функции просит значимых усилий, увеличивающихся совместно Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе с повышением числа узлов сетки».

Возможность автоматического подбора управляющих характеристик является бесспорным достоинством предлагаемого метода.

Сетка является хорошей (если такой выходит) исходя из убеждений некого функционала, завлеченного для решения практической задачки Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе построения постоянной сетки в данной области. Эта задачка сама по для себя бывает довольно трудной из-за сложной формы области, да еще деформирующейся в процессе решения нестационарной задачки.

Но получение таковой сетки Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе – не самоцель, а только инструмент для решения некой определенной задачки математической физики. И для этой задачки хорошей (либо просто неплохой) полностью может быть совершенно другая сетка. И на такие случаи необходимы другие методы Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе.

Эта самая цель ставится привлечением адаптивных сеток, которым посвящен очень широкий круг публикаций разных создателей.

Достойные внимания способности в этом плане представляет внедрение так именуемых мониторных метрик (см., напр., [8]). Но их Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе рассмотрение выходит за рамки истинной работы.

5.5. Мы подошли к вопросу – необходимо либо нет делать несколько итераций по предложенному методу (4.5) при зафиксированной сетке?

При расчете нестационарных задач (к примеру, газодинамических), в особенности с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе малым шагом по времени, представляется полностью достаточным расчет таких управляющих характеристик один раз на шаге по времени и основывать его на сетке, приобретенной на прошлом шаге.

Если при всем этом привлекается и состояние Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе управляющих характеристик от предшествующего шага, то, скорее всего, довольно одной описываемой (4.5) итерации для уточнения их состояния.

Если хранение таковой дополнительной инфы не нужно (к примеру, в случае уже сложившихся программных комплексов), то можно испытать Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе обойтись и без этого. Как ранее говорилось в §1, в качестве начального состояния управляющих характеристик можно завлекать усредненные законы расстановки узлов на обратных границах (их нужно иметь либо рассчитывать для реализации Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе интерполяционных формул при получении исходного приближения сетки еще одного шага). Дальше следует выполнить, по-видимому, менее 1-3 итераций по расчету управляющих характеристик на зафиксированной сетке предшествующего шага. Это лучше сделать для того, чтоб в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе описанной в [2]-[3] методике иметь не очень нехорошие невязки разностных уравнений для сетки, получаемые за счет подкорректирующих функционалов. (Хотя они могут регулироваться и впрямую методом уменьшения коэффициентов их «подключения», не нужно чтоб эти последние Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе были очень малы).

5.6. Более содержательный нрав вопрос, поставленный сначала раздела 5.5., приобретает при расчете сетки начального шага. Основная трудность связана с тем, что нужно гарантированно получить невырожденную сетку, а лучше – сетку из Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе выпуклых ячеек (обычно оговаривается исключение для 4 угловых ячеек, если вынуждает форма расчетной области). Этому вопросу давно уделялось особое внимание и придумывались модификации алгоритмов (к примеру, связанные с наличием якобиана в знаменателе и вероятным Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе воззванием его в нуль), дозволяющие достигать цели. Интересно на данный момент обратиться к давнешним публикациям. В качестве примера возьмем [9]-[10], которые были «первопроходцами» способов барьерного типа. Приведенные в их иллюстрации «перевывернутых» исходных сеток Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе и сведения о издержек машинного времени (тогда это были БЭСМ-6) практически приводят в изумление. Может быть, это делалось преднамеренно для демонстрации «могущества» предлагавшихся модификаций.

Естественно, для заслуги цели все методы, если Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе не неплохи, то имеют право на существование. Но исходя из убеждений надежности и практической необходимости не имеет смысла поначалу создавать трудности, а позже их мучительно преодолевать. А трудности эти появляются не случаем Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе. Ведь при реализации барьерного способа для узла, попавшего «за барьер», очень тяжело преодолеть его, чтоб попасть назад, на «правильную» сторону. Тяжело, даже если ему «помогают» (к примеру, модификацией якобиана). Ну и полной гарантии Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, что это произойдет, в общем-то, нет, невзирая на теоретический факт существования «хорошего» решения. Не этим ли объясняются упомянутые выше «изумляющие» иллюстрации?

5.7. Конкретно эту цель имеет предложение получить сетку с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе выпуклыми ячейками на начальном шаге и дальше не допускать возникновения невыпуклых ячеек, повсевременно оставаясь во огромном количестве «хороших» сеток.

Для получения начальной сетки на исходном шаге более оптимальным представляется внедрение такового Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе пути. Допустим область представляет «водоем» (условно) с необычной береговой линией. Заместо нее берется в качестве начальной более обычная область, для которой построение применимой сетки не вызывает колебаний. А потом эта область равномерно деформируется Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе в подходящую, при этом процесс деформации смешивается с итерационным процессом по пересчету сетки. Заметим, что в газодинамических комплексах программ обычно содержится тип границ, имеющих заблаговременно данное положение либо передвигающихся по данному закону и Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе никак не влияющих на среду, через их протекающую. Эти границы получили заглавие эйлеровых.

Создатель никак не претендует на ценность. Таковой прием рассматривался, к примеру, в [11]. Изложение подробностей можно отыскать в [12], более «привязанной Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе» к рассматриваемому вариационному подходу.

Заметим, что в качестве подходящей «хорошей» области может быть применена либо окаймляющая, либо внутренняя по отношению к ней, либо вообщем область с «облагороженной настоящей» границей. (Если Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе использовать «водную» аналогию, то условно речь может идти об области, которая заполняется во время вешнего половодья. А «настоящая» область с изрезанной береговой линией – та, которая появляется в итоге летнего высыхания водоема.) При современных Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе способностях диалогового режима воплотить такое предложение не так и тяжело (идет речь только о исходном шаге либо о моментах, когда меняется структура сетки).

Что касается самой «настоящей» границы, то сам подход с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе внедрением выделенных подвижных границ ставит цель не допускать преломления формы реальных объектов и объектов, возникающих в процессе расчетов. Но заметим, что уже факт подмены реального пространственного процесса его двумерным аналогом несет Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе внутри себя элемент идеализации (не говоря уж об эмпирическом нраве неких коэффициентов и т.п.). Так всегда ли целенаправлено «цепляться» за передачу очень маленьких деталей границ?

5.8. В [3] на стр.29 создатель писал о необходимости использования Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе полезного опыта других исследователей для конструирования подкорректирующих функционалов. В этом плане представляет энтузиазм уже упоминавшаяся работа [7] по последующим моментам.

Во-1-х, «квазиодномерный» функционал просто врубается в огромное количество рассматриваемых. К примеру Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, если поменять (1.10) на



с числовым параметром c, то при c=0 реализуется функционал «квазиодномерных» сеток 1-го семейства, при c=1 – второго, при c=0.5 – прежний (1.10). Возможность в случаях c=0 и c=1 использовать особые способы решения Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (типа прогонок для векторов размерности 2), рекомендуемая в [7] со ссылкой на более раннюю публикацию, естественно, может содействовать сокращению вычислительных издержек. Рассмотрение такового рода способностей представляет энтузиазм как кандидатура способу обычной итерации при решении разностных уравнений для Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе сетки. Возможность ускорения сходимости, конечно, фактически очень принципиальна.

5.9. Заслуживает внимания и описанная в [7] на с.904 мысль модификации разностной формы функционала средством введения «условной длины, используя интерполяцию соответственных длин на граничных Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе линиях». Аналогичное по содержанию предложение делалось и в [1] на стр.22. К огорчению, оно не очень универсально, что можно просто осознать на примере области в форме «песочных часов».

Заметим, что предлагаемый в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе истинной работе метод подбора управляющих характеристик является одним из вариантов автоматической реализации конкретно этой идеи. В качестве «условной длины» при всем этом будут выступать просуммированные повдоль границы значения управляющих характеристик.

5.10. Работа [7] заслуживает упоминания к тому Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе же поэтому, что содержит достойные внимания результаты, иллюстрирующие способы на примере задач, связанных с исследованием неустойчивости границы раздела сред. Они свидетельствуют, что применимые сетки можно получать в очень тяжелых Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе ситуациях типа наполнения узлами постоянной сетки «языков» очень необычной формы либо узкой «перемычки». На стр. 905 есть даже упоминание о расчетах, когда происходит отрыв «языка». Таковой расчет тянет за собой необходимость конфигурации в процессе его Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе структуры сетки и, как пишут создатели [7], «хотя и громоздок, но в принципе возможен».

5.11. Еще есть один суровый вопрос: для чего создателю пригодилось вести изложение для 2-ух функционалов (1.8)-(1.10)? Ответ на него уже Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе излагался на стр.29-30 работы [2], и мы его не будем повторять. Вернемся к нему в §8 после обсуждения способностей использования предложенного варианта вариационного подхода в пространственном случае, к которому и перебегаем.


§ 6. Выбор функционала для Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе трехмерных сеток и предназначение

одномерных управляющих функций.


6.1. Результаты, достигнутые при вариационном подходе к расчету двумерных сеток, сделали уверенность в способности обобщения такового подхода на случай пространственных (трехмерных) сеток. Для сотворения надежных способов Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе их построения представляется естественным вербование вариационных функционалов барьерного типа. Оказалось, что для этого находится еще больше разных способностей, чем в двумерном случае. По этому поводу имеется довольно широкая литература, но мы Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе сходу обратимся к только-только размещенной работе [13], в какой предлагаемый метод доведен до расчетных формул, их практической реализации и проиллюстрирован примерами. В [13] можно отыскать и лаконичный обзор соответственной литературы и аргументы в пользу выбора Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе определенного функционала.

Функционал, применяемый в работе [13], имеет вид

(6.1) ,

где Е3 – плотность энергии отображения единичного куба Q3: на заданную пространственную область W3, в какой должна быть построена сетка. Она назначается формулами:

(6.2) ,

(6.3)

В точке с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе координатами элементы метрического тензора g задаются соотношениями

(6.4) , ,

, ,

- элементы матрицы, оборотной аналогичной матрице G коэффициентов функционала.

В интересах обобщения метода расчета управляющих функций, который был описан выше для двумерного варианта, заместо (6.1) будет рассматриваться функционал Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе с плотностью

(6.5)

Возможность выбора таковой функции аргументирована в [13] на стр. 46-47. Для двумерных сеток аналогичное предложение дискуссировалось в [1] на стр. 31.

По аналогии с двумерным случаем назначим

(6.6) .

Тогда формула для E30 приобретает вид:

(6.7)

6.2. Дальше, по аналогии Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе с двумерным случаем, введем одномерные управляющие функции А(x), В(h), С(z) и разглядим функционал с плотностью

(6.8)

К собственному наслаждению, в статье [14] на стр.848 создатель нашел предложение определять качество ячейки сетки конкретно Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе таковой величиной. Проще было бы ввести обозначения А, В, С заместо А2, В2, С2 , но создатель сделал выбор, исходя (как выяснится в §7) из интересов наглядности и пространственного функционала без якобиана, который будет Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе определен формулой (7.9).

6.3. Метод предназначения управляющих функций естественно обобщается так.

При «замороженных» А(x), В(h), С(z) рассчитываются последующие функции:

(6.9)



(6.10)



(6.11)



Предназначение А(x) определяется из условия минимума интегрального выражения

(6.12)

Минимум Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе функции

(6.13) ,

для которой производная определяется формулой:

(6.14) ,

достигается при . Сомножитель 2 можно убрать (ввиду следующей нормировки) и для предстоящего это целенаправлено сделать. Потому из (6.12) определяем

(6.15)

Аналогично на базе формул (6.10) и (6.11) получаем:

(6.16) ,

Они и определяют предназначение управляющих функций (поточнее Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, еще одно приближение для их предназначения).

6.4. Следуя изложенному в §1, эти функции следует нормировать. К примеру, так:

(6.17) ,

,

,

Формула (6.8) записывается в виде:

(6.18)

Входящие в нее характеристики:

(6.19) , , ,

будут играть ту же роль, что и коэффициенты Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе , 1/ в двумерном случае (1.10). Заметим, что 1 2 3 =1 аналогично  1/=1.

6.5. При сопоставлении формул (6.9)-(6.16) с подобными формулами (1.12)-(1.15) для двумерного варианта находится последующее. В двумерном случае параметр  не играл никакой роли при определении нормированных функций , . В пространственном Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе случае это не так: в формулах для 2(x), 2(h), 2(z) происходит «смешение» 2-ух функций с практически неведомыми весовыми коэффициентами (это в особенности значительно для первой «итерации»).

В определенной степени этот недочет можно Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе убрать последующим приемом. Полагаем, что начальные функции А(x), В(h), С(z) являются нормированными. (На их роль более естественно претендуют усредненные законы расстановки узлов на граничных ребрах).

Заместо 2(x) вычислим Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе две вспомогательных функции:

(6.20)



Тогда формулу (6.15) для можно, исходя из (6.20), записать в виде:

(6.21)

Аналогично делается расчет пар функций 2(h),3(h) заместо 2(h) и функций 2(z),3(z) заместо 2(z), а потом выписываются формулы для Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе , подобные (6.21).

Но расчет по приобретенным формулам будет завершен только после того, как будут назначены величины 1, 2, 3 . В свою очередь, формулы для этих величин определяются тоже требованием минимизации функционала с плотностью энергии (6.18).

При условии нормировки 1 2 3=1 минимум Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе формы

(6.22)

достигается для значений характеристик

(6.23) , , ,

Тривиальные, но массивные формулы для величин F1, F2, F3 мы опускаем.

§ 7. Модельные примеры для пространственного варианта.

Функционал без якобиана для трехмерных сеток.


7.1. В качестве первого примера разглядим простые Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе прямоугольные «сетки», направленные по осям координат:

(7.1) , ,

Естественно, подразумевается, что , , .

Для их метрические характеристики

(7.2) , ,

Плотность (6.8) энергии этого отображения воспринимает вид:

(7.3)

Ее абсолютное малое значение Е=1 достигается, если

(7.4) , ,

(Мы сознательно опускаем подробности, связанные с нормировкой Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе этих функций, чтоб не загромождать изложение.)

Как следует, случайная прямоугольная «сетка» является хорошей для функционала (6.8) при предназначении в качестве управляющих функций (7.4).


7.2. В качестве второго модельного примера разглядим сферическую (полярную) «сетку»:

(7.5)





Ее метрические Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе характеристики

(7.6) , ,

,

Плотность (6.8) энергии отображения (7.5) воспринимает вид:

(7.7)

Ее абсолютное малое значение Е=1 достигается, если

(7.8) , ,

Как следует, случайная сферическая «сетка» (7.5) является хорошей для функционала (6.8) при предназначении в качестве управляющих функций (7.8).


7.3. В двумерном случае рассматривались два Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе функционала, один из которых для наглядности именовался функционалом без якобиана, а другой – функционалом с якобианом.

В трехмерном случае аналогом функционала с якобианом является (6.1) с плотностью энергии (6.8) либо (6.18), а в качестве аналога функционала без якобиана Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе следует рассматривать (6.1) с плотностью

(7.9)

Обратим внимание, сравнивая (7.9) с (6.18), что, не считая отсутствия якобиана, меняется к тому же показатель 2/3 на 1. Естественно, что соответственно должны быть изменены и формулы (6.9)-(6.16) для предназначения управляющих функций Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе. Эти конфигурации настолько явны, что мы не будем выписывать получающиеся формулы.

Заметим, что минимизация функции достигается при . Потому формулы (6.15) и (6.16) остаются в силе.

Уравнения Эйлера-Лагранжа, которым должно удовлетворять отображение, обеспечивающее минимум функционала (6.1) с плотностью Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе (7.9), имеют вид:

(7.10)

для каждой из 3-х компонент радиус-вектора r=(x,y,z). Они линейны и, как и в двумерном случае, это значительно упрощает методы их численного решения.

Разумеется Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, что в этих уравнениях важную роль играют коэффициенты . Они подобны (6.19) для функционала с плотностью (6.18).

7.4. Несложно проверить, что описанные выше результаты для модельных примеров прямоугольных неравномерных и сферических (полярных) «сеток» стопроцентно переносятся и на функционал без Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе якобиана, т.е. с плотностью энергии (7.9). Это подтверждается и конкретной подстановкой в уравнения (7.10).

Можно было бы аналитически изучить варианты задания управляющих функций, подобные описанным для двумерного варианта, но это громоздко Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе и заняло бы очень много места. Потому мы этого делать не будем.


§ 8. О дискретизации пространственного функционала.


8.1. Для реализации численного метода построения пространственных сеток вариационный функционал (6.1) с плотностью энергии отображения (6.18) моделируем интегральной суммой

(8.1)

«Вклад» отдельной Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе трехмерной ячейки имеет вид:

(8.2)

При данной сетке вычисление управляющих характеристик осуществляется по формулам, представляющим дискретные аналоги (6.9)-(6.16), и их вероятной модификацией по (6.20)-(6.21). Они настолько явны, что мы не будем их приводить.

8.2. Основная Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе неувязка дискретизации связана с величинами



и оказалась далековато не обычный.

В двумерном случае введение билинейного отображения единичного квадрата Q: (0£x,h£1) на четырехугольник, имеющий данные координаты вершин ячейки, позволило удачно решить делему обеспечения невырожденности и Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе неровности ячеек сетки. Как уже описывалось, это достигается средством разрезания ячейки на две пары треугольников проведением ее диагоналей и формулируется в виде требования положительности (неотрицательности) площадей этих треугольников.

Естественно Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе для пространственного варианта находить путь решения аналогичной задачи средством введения трилинейного отображения единичного куба Q3: (0£x,h,z£1) на шестигранную ячейку с данными координатами ее 8 вершин. (Заместо термина «шестигранная» ячейка употребляются также «гексаэдральная» либо Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе «линейчатая»). Но по сей день не получено критерий, являющихся сразу необходимыми и достаточными, которые обеспечивали бы невырожденность упомянутого выше трилинейного отображения.

Этому вопросу посвящено довольно много работ, из которых сначала заслуживают быть упомянутыми Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе [15]-[16], в каких он изучен более много. В их можно отыскать ссылки и на другие работы.

8.3. Что касается практической реализации такового подхода, то представляет энтузиазм вариант, избранный в [13]. При его реализации Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе заместо линейчатой ячейки рассматриваются два двенадцатигранника. Они имеют те же верхушки и получаются проведением одной дополнительной диагонали в каждой грани ячейки.

Заметим, что в пространственном случае четыре верхушки, определяющие грань ячейки, обычно, не Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе лежат в одной плоскости. Чтоб конкретизировать форму грани ячейки, необходимо строить криволинейную поверхность, проходящую через эти четыре верхушки. Задачка решается, к примеру, привлечением в качестве таковой поверхности однополостного гиперболоида (см., напр., [6], с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе.228). Но это очень обременительно и недостаточно накрепко в вычислительном плане (нередко придется «балансировать» на грани вырождения поверхности гиперболоида в плоскость).

Проведение диагонали ячейки позволяет более просто решить делему, заменяя грань 2-мя плоскими треугольниками Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе. Заметим, что они не лежат (обычно) в одной плоскости, как и два другие, получающиеся проведением другой диагонали в грани ячейки. А эти две диагонали, обычно, представляют отрезки скрещивающихся прямых.

Как описано в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе [13], для практической реализации любой из 2-ух упомянутых выше двенадцатигранников разрезается на 5 тетраэдров: четыре угловых и один внутренний. Упомянутое выше единое для ячейки трилинейное отображение заменяется на набор линейных отображений Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе базисных тетраэдров из места (x,h,z), на которые разбивается единичный куб Q3, в надлежащие тетраэдры, из которых составлены два двенадцатигранника. Базисные тетраэдры – это 8 угловых при верхушках куба и 2 внутренних.

Условие невырожденности ячейки Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе подменяется требованием положительности (неотрицательности) объема каждого из этих 10 тетраэдров. Это позволяет конструировать интегральную сумму для минимизируемого функционала, которую можно трактовать как реализацию барьерного способа для пространственного варианта.

8.4. Как ранее говорилось в §6, создателю [13] удалось выполнить Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе описанное для функционала (6.1)-(6.4), довести метод до расчетных формул (довольно «трудоемких» исходя из убеждений вычислительных издержек) и их практической реализации, проиллюстрированной примерами.

Заметим, что изготовлено это в «стационарном» варианте – с целью Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе расчета сетки в пространственной области с фиксированными границами.

Нас же интересует метод применительно к нестационарной задачке. Представляется совсем естественным обобщение для этой цели технологии построения сеток, изложенной в [2]-[3], на пространственный случай. Идет речь Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, сначала, об использовании соответственных универсальных функционалов с плотностью энергии отображения в форме (6.5). Коэффициенты функционала рассчитываются как метрические характеристики сетки, приобретенной на прошлом шаге по времени. Это – то, что именуется опорным функционалом. Он Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе корректируется средством функционала, содержащего одномерные управляющие функции, описанные выше в §6. Главной ценностью его мы полагаем получение характеристик (6.18) m1, m2, m3 и их внедрение при решении уравнений Эйлера-Лагранжа для пространственной сетки. Получаемые сразу Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе с ними управляющие функции А(x), В(h), С(z) позволяют сетке верно «реагировать», в том числе, и на неравномерные расстановки узлов на границах, как проиллюстрировано на модельных примерах прямоугольных и Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе полярных сеток.


8.5. А вот сейчас вернемся к вопросу о 2-ух функционалах (1.8)-(1.9), рассматривавшихся в двумерном случае. В собственных мемуарах [17] на стр.21 С.К.Годунов писал: «Мы боялись чрезвычайных издержек времени. Было решено поначалу Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе использовать вариационный подход в каких-то стационарных задачках… Только после фуррора, достигнутого в решении стационарных задач, мы отважились строить сетки на каждом шагу методом решения эллиптических уравнений».

Невзирая на неизмеримо выросшее быстродействие вычислительной Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе техники, представляется определенное сходство сегодняшней создавшейся ситуации с упомянутой.

Если в процессе расчета нестационарной задачки придется на каждом шаге иметь дело с реализацией вариационного подхода, при котором ячейка будет разбиваться на 10 тетраэдров Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе и т.д., не приведет ли это к чрезмерным, недопустимым вычислительным затратам?

Эти издержки непременно значительно понижаются, если, по аналогии с двумерным случаем, заместо функционала с якобианом, для которого Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе плотность энергии задается формулой (6.18), использовать функционал без якобиана с плотностью, определенной формулой (7.9) . Это значит, что в формуле для его плотности убирается сомножитель и показатель 2/3 заменяется на 1 (что тоже понижает вычислительные издержки). Естественно, что Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе это делается и во всех следующих формулах. Для вычисления же метрических характеристик g11, g22, g33 совершенно не непременно «резать» ячейку на тетраэдры и не надо хлопотать о положительности (необращении в нуль Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе) знаменателя. Упрощения, которые заносит линейный нрав уравнений Эйлера-Лагранжа (7.10) в случае функционала без якобиана, для двумерного варианта уже описывались в [2]-[3].

Как мы уже упоминали, аргументы для такового решения при рассмотрении двумерного варианта были изложены в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе [2] на с.30. Коротко повторим их сущность.

10. Если достигается абсолютная минимизация функционала, то это происходит на одной и той же сетке для функционала с якобианом и без якобиана.

20. Избрав опорный функционал Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, слабо возмущенный корректирующими функционалами, мы «работаем» конкретно в округи абсолютного минимума.

30. Минимизируя функционал с якобианом, мы должны работать с обилием невырожденных (выпуклых) сеток. Что мешает нам делать это и при работе Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе с функционалом без якобиана, не допуская появления вырожденной (невыпуклой) сетки? (Вопрос, как это более просто держать под контролем, остается. Но необходимы не столько «хитроумные» аспекты, сколько относительно просто проверяемые достаточные условия).

На стр.30 в [2] высказана Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе идея о необходимости иметь в арсенале алгоритмов построения сеток оба функционала, но прибегать к использованию функционала с якобианом только после того, как исчерпаны способности функционала без якобиана.

8.6. Считаем нужным специально тормознуть на Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе вопросе о расчете исходной сетки. Получение «хорошей» сетки в случае области сложной формы могло бы осложниться из-за отказа от работы с якобианом. Предложение использовать «улучшенную» начальную область (с следующей деформацией в Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе подходящую) снимает такое отягощение: «хорошая» сетка для соответственно «улучшенной» области должна быть гарантированно получена при помощи интерполяционных формул либо применяемого функционала без якобиана.

Как доказательство корректности предлагаемого подхода, мы рассматриваем и изготовленное Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе на стр.35 работы [13] сообщение, что для 1-го из вариантов модификации якобиана, отлично работавшего в двумерном случае, «трехмерный аналог не позволяет получать невырожденную сетку даже в обычный кубической области с сначало «испорченной Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе» (т.е. вырожденной) сеткой».

Заключение

Предложенный в истинной работе автоматический вариант предназначения управляющих характеристик должен прирастить способности обычного вариационного подхода к расчету как двумерных, так и пространственных сеток.

Как указывает Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе модельный пример полярных «сеток» с случайной расстановкой узлов по круговому и угловым фронтам, предлагаемые управляющие характеристики позволяют воспроизводить такие сетки, препятствуя «забыванию» законов расстановки обычно применяемыми вариационными уравнениями.

Резкое возрастание вычислительных издержек при Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе реализации вариационного подхода, в особенности в пространственном случае, вызывает необходимость настоятельной заботы об их уменьшении. По воззрению создателя, с этой точки зрения представляет бесспорный энтузиазм внедрение «функционалов без якобиана».

Сложилось так, что уже Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе во время окончания истинной работы создатель ознакомился со статьей [18], посвященной построению двумерных нерегулярных сеток. Она произвела очень приятное воспоминание, в особенности иллюстративными примерами по части построения сеток в областях типа «песочных часов», с Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе «языками», многосвязных и др. Высказанное в ней мировоззрение, что на базе таковой методики можно «создать геометрически безавостную методику на подвижных сетках», принципных возражений не вызывает. Но конкретно «геометрически». Реализация, к примеру Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, способов «типа Годунова» (каждый глядит со собственной «колокольни») вызовет определенные трудности из-за необходимости перехода (на каждом шаге) с одной нерегулярной сетки на другую нерегулярную, которая может отличаться от нее структурой. Непонятно и Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе каковы будут последствия таких неизменных переходов исходя из убеждений численного решения уравнений газовой динамики. Если трудности получится удачно преодолеть и, в особенности, если описанную в [18] методику получится обобщить на пространственный Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе случай, то нерегулярные сетки – непременно прекрасная кандидатура постоянным. По-видимому, способная значительно потеснить последние, представляющие надежный и удачный инструмент до того времени, пока есть условия для их использования. Тем паче это Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе разумеется для задач с постоянной, недвижной сетью.

Создатель выражает искреннюю благодарность М.С.Гавреевой за помощь в оформлении работы.
^ Перечень литературы



  1. Прокопов Г.П. Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток. //М Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе., Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2001, №1, 36 стр.

  2. Прокопов Г.П. Вариационные способы расчета двумерных сеток при решении нестационарных задач. //М., Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2003, №4, 32 стр.

  3. Прокопов Г.П. Реализация вариационного Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе подхода к расчету двумерных сеток в нестационарных задачках. //М., Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2005, №116, 36 стр.

  4. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток.// ЖВМ Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе и МФ, 1967, т.7, №5,сс.1031-1059.

  5. Прокопов Г.П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами. //М., Препринт ИПМ АН СССР, 1974, №17.

  6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе арифметике для инженеров и учащихся ВТУЗов.// М., Гос.издательство тех.-теор.лит., 1953, 608с.

  7. Грынь В.И., Фролова А.А., Чарахчьян А.А. Сеточный генератор барьерного типа и его применение для расчета Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе течений с подвижными границами.// ЖВМ и МФ, 2003, т.43, №6, сс.902-908.

  8. Шокин Ю.И., Лисейкин В.Д., Лебедев А.С., Данаев Н.Т., Китаева (Васева) И.А. Способы римановой геометрии в задачках построения разностных сеток.// Новосибирск Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе, Издательство «Наука», 2005.

  9. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников.// ЖВМ и МФ, 1988, т.28, №4, сс.503-514.

  10. Иваненко С.А. Построение невырожденных сеток.//ЖВМ и МФ, 1988, т.28, №10, сс.1498-1506.

  11. Сидоров А.Ф Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе., Шабашова Т.И. Об одном способе расчета хороших разностных сеток для многомерных областей.// Числ. способы мех.сплош.среды, 1981, т.12, №5, сс.106-124.

  12. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П., Софронова О.И Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе. Расчет подвижных сеток и неувязка исходного приближения для сетки в сложной области.// ВАНТ, сер.: Матем. моделир. физ.процессов, 1996, вып.1-2, сс.84-90.

  13. Азаренок Б.Н. Об одном вариационном способе построения пространственных сеток. Сообщения по Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе вычислительной арифметике.// М., Вычисл. Центр РАН им.А.А.Дородницына, 2006, 51 стр.

  14. Delanaye M., Hirsch Ch., Kovalev K. Untangling and optimization of Unstructured hexahedral meshes.// ЖВМ и МФ, 2003, т.43, №6, сс.845-853.

  15. Ушакова О.В. Условия Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе невырожденности трехмерных ячеек. Формула для объема ячеек.//ЖВМ и МФ, 2001, т.41, №6, сс.881-894.

  16. Ушакова О.В. О невырожденности трехмерных сеток.// Труды Ин-та Арифметики и Механики УРО РАН, 2004, т,10, №1, сс.78-100.

  17. Годунов С.К Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе. Мемуары о разностных схемах. Доклад на Международном симпозиуме «Метод Годунова в газовой динамике». Мичиганский институт (США). Май, 1997.// Новосибирск, Научная Книжка, 1997, 40 стр.

  18. Сковпень А.В. Реализация переднего метода построения нерегулярных четырехугольных сеток Г. П. Прокопов Выбор параметров при вариационном подходе.// ВАНТ, сер.: Матем. моделир. физ.процессов, 2005, вып.1, сс.9-30.




g-smolensk-smolensk-istoki-russkoj-slavi-stranica-22.html
g-smolensk-smolensk-istoki-russkoj-slavi-stranica-27.html
g-smolensk-smolensk-istoki-russkoj-slavi-stranica-34.html